मान लीजिए कि $2-p, p, 2-\alpha, \alpha$ विस्तार $(1+x)^n$ में चार क्रमागत पदों के गुणांक हैं। तो $p^2-\alpha^2+6\alpha+2p$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1+{ }^{n} C_{1} \cos \theta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 \theta+\ldots+{ }^{n} C_{n} \cos n \theta$ का मान क्या है?

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

मान लीजिए $(5 + 2\sqrt{6})^n = p + f$,जहाँ $n \in N$,$p \in N$,और $0 < f < 1$ है। तो $f^2 - f + pf - p$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।

यदि $(1+x+x^2+x^3)^{100}$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक $a_r$ है,और $S = \sum_{r=0}^{300} a_r$ है,तो $\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r =$